선형대수학

Basis and Rank [선형대수학]

CV석사 2022. 7. 16. 16:43

 cs5670 챕터 중에서 epipolar geometry를 공부하던 중 rank의 정의를 정확히 알고자 공부한 내용입니다.

Basis and rank

 벡터 공간[vector space] V에서 우리는 특히 v∈V가 A의 벡터들의 선형 결합[linear combination]에 의해 얻어질 수 있다는 성질을 갖는 벡터 A의 집합에 관심이 있습니다. 이러한 벡터는 특수한 벡터를 특징 지을 것입니다.

 

Set 와 Span 생성

 벡터 공간 V 및 벡터 집합 A = {x_1,…,x_k} ⊆ V. 모든 벡터 v∈V 가 x_1,…,x_k 의 선형 결합으로 표현될 수 있다면  V의 생성 집합[generating set] 이라고 합니다. A에서 벡터의 모든 선형 결합의 집합을 A의 span이라고 합니다. A가 벡터 공간에 걸쳐 있으면 V= span[A] 또는 V=span[x_1,…,x_k]라고 합니다.

 

 생성 집합[generation set] 은 벡터(하위)공간에 걸쳐 있는 벡터 세트 입니다. 즉, 모든 벡터는 생성 세트에서 벡터의 선형 결합으로 표현될 수 있습니다. 이제 우리는 더 구체적이고 벡터(하위) 공간에 걸쳐 있는 가장 작은 생성 집합을 특성화할 것입니다.

 

Basis

벡터 공간 V 및  A ⊆ V 를 생각해봅니다. V의 생성 집합 A는 걸쳐 있는 더 작은 집합 A ̂ ⊈A⊆V  가 존재하지 않으면 최소 집합이라고 합니다. V의 모든 선형 독립 생성 집합은 최소이며 V의 기저[basis]라고 합니다.

 

V를 벡터공간이라 하고 B⊆V, B≠∅ 일때, 다음 명령문은 동일합니다.

  • B는 V의 기저입니다.
  • B는 최소 생성 집합입니다.
  • B는 V의 최대 선형 독립[linearly independent] 벡터 집합입니다. 이 집합에 다른 벡터들을 추가하면 선형 종속[linearly dependent]이 됩니다.
  • 모든 벡터 x∈V 는 벡터의 선형 결합이며 모든 선형 결합은 고유합니다.

 모든 벡터 공간 V에는 기저 B를 갖습니다.  벡터 공간 V에 많은 기저들이 있다고 했을 때 고유기저는 없다고 합니다. 그러나 모든 기저들은 같은 수의 원소, 기저 벡터들을 가지고 있습니다.

 유한 차원의 벡터 공간 V만을 고려합니다. 이 경우, V의 차원은 V의 기저 벡터 수이며, 우리는 dim(V)라고 씁니다. U ⊆ V가 V의 부분 공간인 경우 dim(U) ≤ dim(V) 이고 U = V인 경우에만 dim(U) = dim(V) 입니다. 직관적으로 벡터공간의 차원은  이 벡터 공간의 독립 방향의 수로 생각할 수 있습니다.

 

 벡터 공간의 차원이 반드시 벡터의 요소 개수인 것은 아닙니다. 예를 들어 벡터공간 V=span [0 1]^T 은 1차원이지만 기저 벡터는 두개의 요소를 가지고 있습니다.

 벡터 공간의 기저 V = span[x_1, ..., x_m] ⊆ R^n 은  다음 단계를 통해 찾을 수 있습니다.

  1. spannig 벡터를 행렬A의 열을 씁니다.
  2. A의 행-echelon form으로 결정합니다.
  3. pivot 열과 관련된 spanning 벡터들은 U의 기초입니다.

 

Rank

 행렬 A ∈ R^mxn 의 선형 독립 열의 수는 선형 독립 행의 수와 같으며  A의 rank라 하며 rk(A)로 표시합니다.

 

properties(성질)

  • rk(A)=rk(A^T), 열 rank와 행 rank가 같습니다.
  • A ∈ R^mxn의 열은 dim(U) = rk(A)를 갖는 부분 공간은 U ⊆ R^m에 결쳐 있습니다. U의 기저는 pivot 열을 식별하기 위해 A의 가우스 소거법을 적용하여 찾을 수 있습니다.
  • 모든 A ∈ R^nxn에 대해 rk(A) = n인 경우에만 A를 regurlar(가역,invertible)이라고 합니다.
  • 모든 A ∈ R^mxn 및 모든 b ∈ R^m 에 대하여 , 선형 방정식 시스템 Ax = b는 rk(A) = rk(A|b)일 경우에만 풀 수 있다고 주장합니다. 여기서 A|b는 augmented 시스템을 나타냅니다.
  • A ∈ R^mxn의 경우, Ax=0에 대한 해의 부분 공간은 n-rk(A) 차원을 갖습니다. 이 부분 공간을 커널[kernel] 또는 null space 라고 부릅니다.
  • 행렬 A ∈ R^mxn의 rank는 같은 차원의 행렬에 대해 가능한 가장 큰 rank와 같으면 full rank를 갖습니다. 즉 full rank 행렬의 rank는 행과 열의 수보다 작습니다. 즉, rk(A)=min(m,n)입니다. 행렬이 완전한 rank를 갖지 않으면 rank dificient라고 합니다.

 

하지만 이렇게 설명을 보면 조금 어려울 것입니다. 위키백과에서의 정의를 한번 보도록 하겠습니다.

 임의의 행렬A가 있을 때, 행렬의 Rank라는 것은 이 행렬의 열들로 생성될 수 있는 벡터 공간의 차원을 의미합니다. 행렬 A의 열들 중에서 선형 독립인 열들의 최대 개수를 rank라고 하고, 이것은 행에 대해서 나타내어 지는 공간의 차원과도 같습니다. 결국 차원이라고 하면 벡터 공간 상에서 기저의 개수에 의해서 결정이 되고, 이것은 행렬의 행으로 볼 수 있겠습니다.